Stern-Dreieck-Umwandlung

Stern-Dreieck-Umwandlung

Die Stern-Dreieck-Umwandlung ist ein Hilfsmittel zur Auflösung von Widerstandsnetzwerken. Hierbei geht es darum, die drei Widerstände von Dreieck auf Stern – und umgekehrt, umzuzeichnen mit entsprechend abgewandelten Widerstandswerten, so dass die Verhältnisse zwischen den Klemmen in beiden Schaltungsvarianten gleichbleiben.

Umwandlung Dreieck in Stern

Beweis / Herleitung:

Bedingung für die Berechnung der Widerstände RS1, RS2, RS3: Strom und Spannungswerte müssen zwischen den Klemmen in beiden Schaltvarianten gleich sein!

Betrachtung der Klemmen 1 und 2:

U_D12  =  U_S12    =>   damit R_D12 = R_S12
I_D12        I_S12

Betrachtung der Klemmen 2 und 3:

U_D23  =  U_S23    =>   damit R_D23 = R_S23
I_D23        I_S23

Betrachtung der Klemmen 1 und 3:

U_D13  =  U_S13    =>   damit R_D13 = R_S13
I_D13        I_S13

Berechnung der Widerstände zwischen den Klemmen:

R_D12 = R_D2 ΙΙ (R_D1 + R_D3)  = R_D2 (R_D1 + R_D3)    muss gleich sein wie  R_S12 = R_S1 + R_S2
.                                               R_D1 + R_D2 + R_D3

Damit folgt:

R_D12 =  R_D1R_D2 + R_D2R_D3  = R_S12 = R_S1 + R_S2                 …Gl.(1)
.              R_D1 + R_D2 + R_D3

ebenso:

R_D31 = R_D1R_D2 + R_D1R_D3    =  R_S31 = R_S3 + R_S1           …Gl.(2)
.              R_D1 + R_D2 + R_D3

R_D23 = R_D3R_D1 + R_D3R_D2   =  R_S23 = R_S2 + R_S3            …Gl.(3)
.         R_D1 + R_D2 + R_D3

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Wir addieren Gl. (1) + Gl.(2) - Gl.(3) und erhalten:

R_D1R_D2 + R_D2R_D3 + R_D1R_D2 + R_D1R_D3 - (R_D3R_D1 + R_D3R_D2)  = R_S1 + R_S2 + R_S1 + R_S3 - R_S2 - R_S3   = 2R_S1                                           .                      R_D1 + R_D2 + R_D3

Damit folgt:

R_S1 =       R_D1 R_{D2        .}
.         R_D1 + R_D2 + R_D3

Auf die gleiche Weise erhalten wir die restlichen äquivalenten Sternwiderstände:
R_S2 =       R_D2 R_{D3       .}
.         R_D1 + R_D2 + R_D3

R_S3 =       R_D1 R_{D3       .}
.         R_D1 + R_D2 + R_D3

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Umwandlung Stern in Dreieck

Bei der Transformation von Stern auf Dreieck gehen wir ebenso vor. Die Widerstände RS1, RS2 und RS3 der Sternschaltung werden in die Widerstände R_D1, R_D2 und R_D3 der Dreieckschaltung mit den entsprechenden Widerstandswerten so umgerechnet, dass die Strom- und Spannungswerte zwischen den Anschlüssen 1 bis 3 identisch sind.

Beweis / Herleitung:

In der Sternschaltung erhält man den Ersatzwiderstand zwischen den Anschlusspunkten 1 und 2 (bzw.3) durch Kurzschluss der Anschlüsse 2 und 3. Damit wird ein Ersatzleitwert gebildet aus R_S1 und der Parallelschaltung aus R_S2 mit R_S3.

Schließt man in der äquivalenten Dreieckschaltung die gleichen Punkte kurz, ergibt sich hier der Gesamtleitwert aus der Parallelschaltung der Widerstände R_D1 und R_D2.

Linke Seite auf einen gemeinsamen Nenner gebracht ergibt:

Angewandt auf Klemme 3 und kurzgeschlossenen Klemmen 1 und 2:

Angewandt auf Klemme 2 und kurzgeschlossenen Klemmen 1 und 3:

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Wir addieren:   Gl. (1) + Gl. (2)  - Gl. (3):

 Für die übrigen Zweige bzw. Widerstände gilt dieselbe Vorgehensweise.