Stern-Dreieck-Umwandlung
Die Stern-Dreieck-Umwandlung ist ein Hilfsmittel zur Auflösung von Widerstandsnetzwerken. Hierbei geht es darum, die drei Widerstände von Dreieck auf Stern – und umgekehrt, umzuzeichnen mit entsprechend abgewandelten Widerstandswerten, so dass die Verhältnisse zwischen den Klemmen in beiden Schaltungsvarianten gleichbleiben.
Umwandlung Dreieck in Stern
Umwandlung Dreieck in Stern - Auflösung elektrischer Widerstandsnetzwerke
Beweis / Herleitung:
Bedingung für die Berechnung der Widerstände RS1, RS2, RS3: Strom und Spannungswerte müssen zwischen den Klemmen in beiden Schaltvarianten gleich sein!
Betrachtung der Klemmen 1 und 2:
UD12 = US12 => damit RD12 = RS12
ID12 IS12
Betrachtung der Klemmen 2 und 3:
UD23 = US23 => damit RD23 = RS23
ID23 IS23
Betrachtung der Klemmen 1 und 3:
UD13 = US13 => damit RD13 = RS13
ID13 IS13
Berechnung der Wíderstände zwischen den Klemmen:
RD12 = RD2 ΙΙ (RD1 + RD3) = RD2 (RD1 + RD3) muss gleich sein wie RS12 = RS1 + RS2
. RD1 + RD2 + RD3
Damit folgt:
RD12 = RD1RD2 + RD2RD3 = RS12 = RS1 + RS2 …Gl.(1)
. RD1 + RD2 + RD3
ebenso:
RD31 = RD1RD2 + RD1RD3 = RS31 = RS3 + RS1 …Gl.(2)
. RD1 + RD2 + RD3
RD23 = RD3RD1 + RD3RD2 = RS23 = RS2 + RS3 …Gl.(3)
. RD1 + RD2 + RD3
Wir addieren Gl. (1) + Gl.(2) - Gl.(3) und erhalten:
RD1RD2 + RD2RD3 + RD1RD2 + RD1RD3 - (RD3RD1 + RD3RD2) = RS1 + RS2 + RS1 + RS3 - RS2 - RS3 = 2RS1 . RD1 + RD2 + RD3
Damit folgt:
RS1 = RD1 RD2 .
. RD1 + RD2 + RD3
Auf die gleiche Weise erhalten wir die restlichen äquivalenten Sternwiderstände:
RS2 = RD2 RD3 .
. RD1 + RD2 + RD3
RS3 = RD1 RD3 .
. RD1 + RD2 + RD3
Umwandlung Stern in Dreieck
Bei der Transformation von Stern auf Dreieck gehen wir ebenso vor. Die Wíderstände RS1, RS2 und RS3 der Sternschaltung werden in die Wíderstände RD1, RD2 und RD3 der Dreieckschaltung mit den entsprechenden Widerstandswerten so umgerechnet, dass die Strom- und Spannungswerte zwischen den Anschlüssen 1 bis 3 identisch sind.
Stern-Dreieck Umwandlung
Beweis / Herleitung:
In der Sternschaltung erhält man den Ersatzwiderstand zwischen den Anschlusspunkten 1 und 2 (bzw.3) durch Kurzschluss der Anschlüsse 2 und 3. Damit wird ein Ersatzleitwert gebildet aus RS1 und der Parallelschaltung aus RS2 mit RS3.
Schließt man in der äquivalenten Dreieckschaltung die gleichen Punkte kurz, ergibt sich hier der Gesamtleitwert aus der Parallelschaltung der Widerstände RD1 und RD2.
Stern-Dreieck Umwandlung - Herleitung
Linke Seite auf einen gemeinsamen Nenner gebracht ergibt:
Angewandt auf Klemme 3 und kurzgeschlossenen Klemmen 1 und 2:
Angewandt auf Klemme 2 und kurzgeschlossenen Klemmen 1 und 3:
Wir addieren: Gl. (1) + Gl. (2) - Gl. (3):
Für die übrigen Zweige bzw. Wíderstände gilt dieselbe Vorgehensweise.
Übungsaufgaben Stern-Dreieckumwandlung
Bestimmen Sie den Gesamtwiderstand zwischen den Klemmen A und B.
R1 = R2 = 10 Ω; R3 = 20 Ω, R4 = R5 = 30 Ω
Übungsaufgabe Dreieck - Stern-Umwandlung
