Stern-Dreieck-Umwandlung

Stern-Dreieck-Umwandlung

Die Stern-Dreieck-Umwandlung ist ein Hilfsmittel zur Auflösung von Widerstandsnetzwerken. Hierbei geht es darum, die drei Widerstände von Dreieck auf Stern – und umgekehrt, umzuzeichnen mit entsprechend abgewandelten Widerstandswerten, so dass die Verhältnisse zwischen den Klemmen in beiden Schaltungsvarianten gleichbleiben.

Umwandlung Dreieck in Stern

Umwandlung Dreieck in Stern - Auflösung elektrischer Widerstandsnetzwerke

Umwandlung Dreieck in Stern - Auflösung elektrischer Widerstandsnetzwerke

Beweis / Herleitung:

Bedingung für die Berechnung der Widerstände RS1, RS2, RS3: Strom und Spannungswerte müssen zwischen den Klemmen in beiden Schaltvarianten gleich sein!

Betrachtung der Klemmen 1 und 2:

UD12  =  US12    =>   damit RD12 = RS12
ID12        IS12

Betrachtung der Klemmen 2 und 3:

UD23  =  US23    =>   damit RD23 = RS23
ID23        IS23

Betrachtung der Klemmen 1 und 3:

UD13  =  US13    =>   damit RD13 = RS13
ID13        IS13

Berechnung der Widerstände zwischen den Klemmen:

RD12 = RD2 ΙΙ (RD1 + RD3)  = RD2 (RD1 + RD3)    muss gleich sein wie  RS12 = RS1 + RS2
.                                               RD1 + RD2 + RD3

Damit folgt:

RD12RD1RD2 + RD2RD3  = RS12 = RS1 + RS2                 …Gl.(1)
            RD1 + RD2 + RD3

ebenso:

RD31 = RD1RD2 + RD1RD3    =  RS31 = RS3 + RS1           …Gl.(2)
            RD1 + RD2 + RD3

RD23 = RD3RD1 + RD3RD2   =  RS23 = RS2 + RS3            …Gl.(3)
.         RD1 + RD2 + RD3


Wir addieren Gl. (1) + Gl.(2) - Gl.(3) und erhalten:

RD1RD2 + RD2RD3 + RD1RD2 + RD1RD3 - (RD3RD1 + RD3RD2)  = RS1 + RS2 + RS1 + RS3 - RS2 - RS3   = 2RS1                                                                RD1 + RD2 + RD3

Damit folgt:

RS1     RD1 RD2        .
.         RD1 + RD2 + RD3

Auf die gleiche Weise erhalten wir die restlichen äquivalenten Sternwiderstände:
RS2     RD2 RD3       .
.         RD1 + RD2 + RD3

RS3     RD1 RD3       .
.         RD1 + RD2 + RD3


Umwandlung Stern in Dreieck

Bei der Transformation von Stern auf Dreieck gehen wir ebenso vor. Die Widerstände RS1, RS2 und RS3 der Sternschaltung werden in die Widerstände RD1, RD2 und RD3 der Dreieckschaltung mit den entsprechenden Widerstandswerten so umgerechnet, dass die Strom- und Spannungswerte zwischen den Anschlüssen 1 bis 3 identisch sind.

Stern in Dreieck Umwandlung, Auflösung elektrischer Widerstandsnetzwerke

Stern-Dreieck Umwandlung

Beweis / Herleitung:

In der Sternschaltung erhält man den Ersatzwiderstand zwischen den Anschlusspunkten 1 und 2 (bzw.3) durch Kurzschluss der Anschlüsse 2 und 3. Damit wird ein Ersatzleitwert gebildet aus RS1 und der Parallelschaltung aus RS2 mit RS3.

Schließt man in der äquivalenten Dreieckschaltung die gleichen Punkte kurz, ergibt sich hier der Gesamtleitwert aus der Parallelschaltung der Widerstände RD1 und RD2.

Stern-Dreieck Umwandlung - Herleitung

Stern-Dreieck Umwandlung - Herleitung

Stern-Dreieck Umwandlung - Herleitung 1

Linke Seite auf einen gemeinsamen Nenner gebracht ergibt:

Stern-Dreieck Umwandlung - Herleitung 2

Angewandt auf Klemme 3 und kurzgeschlossenen Klemmen 1 und 2:

Stern-Dreieck Umwandlung - Herleitung 3

Angewandt auf Klemme 2 und kurzgeschlossenen Klemmen 1 und 3:

Stern-Dreieck Umwandlung - Herleitung 4


Wir addieren:   Gl. (1) + Gl. (2)  - Gl. (3):

Stern-Dreieck Umwandlung - Herleitung 5

 Für die übrigen Zweige bzw. Widerstände gilt dieselbe Vorgehensweise.

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