Transformação Estrela-Triângulo

Transformação estrela-triângulo e vice-versa – como funciona

A transformação estrela-triângulo e vice-versa é uma ajuda para simplificar redes de resistores. Isso envolve redesenhar os três resistores de delta para estrela e vice-versa com valores de resistência modificados de forma correspondente, de modo que os valores de resistência entre os terminais permaneçam os mesmos em ambas as variantes do circuito.

Transformação de TRIÂNGULO para ESTRELA  (Δ-Y)

Prova:

Condição para calcular os resistores RS1, RS2, RS3: Os valores de corrente e tensão devem ser os mesmos entre os terminais em ambas as variantes de comutação (delta ou estrela)!

Nota sobre os terminais 1 e 2:

U_D12  =  U_S12    =>  portanto R_D12 = R_S12
I_D12        I_S12

Nota sobre os terminais 2 e 3:

U_D23  =  U_S23    =>   portanto R_D23 = R_S23
I_D23        I_S23

Nota sobre os terminais 1 e 3:

U_D13  =  U_S13    =>   portanto R_D13 = R_S13
I_D13        I_S13

Calcular as resistências entre os terminais:

R_D12 = R_D2 ΙΙ (R_D1 + R_D3)  = R_D2 (R_D1 + R_D3)    must be equal to  R_S12 = R_S1 + R_S2
.                                               R_D1 + R_D2 + R_D3

É o seguinte:

R_D12 =  R_D1R_D2 + R_D2R_D3  = R_S12 = R_S1 + R_S2                   …Eq.(1)
.           R_D1 + R_D2 + R_D3

da mesma forma

R_D31 = R_D1R_D2 + R_D1R_D3    =  R_S31 = R_S3 + R_S1           …Eq.(2)
.         R_D1 + R_D2 + R_D3

R_D23 = R_D3R_D1 + R_D3R_D2   =  R_S23 = R_S2 + R_S3            …Eq.(3)
.         R_D1 + R_D2 + R_D3

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Nós somamos eq. (1) + eq.(2) - eq.(3) e recebem:

R_D1R_D2 + R_D2R_D3 + R_D1R_D2 + R_D1R_D3 - (R_D3R_D1 + R_D3R_D2)  = R_S1 + R_S2 + R_S1 + R_S3 - R_S2 - R_S3   = 2R_S1                                           .                      R_D1 + R_D2 + R_D3

portanto, o seguinte:

R_S1 =       R_D1 R_{D2    .}
.         R_D1 + R_D2 + R_D3

Obtemos os restantes resistores em estrela equivalentes da mesma forma:

R_S2 =       R_D2 R_{D3    .}
.         R_D1 + R_D2 + R_D3

R_S3 =       R_D1 R_{D3          .}
.         R_D1 + R_D2 + R_D3

Se os resistores R_D conectados em delta tiverem todos os mesmos valores,  os valores dos resistores R_S em estrela equivalentes  serão:

R_S =       R_D R_D        . = R_D  .
.         R_D + R_D + R_D      3

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Transformação de ESTRELA para TRIÂNGULO  (Y-Δ)

Procedemos da mesma forma para a transformação de estrela para delta. Os resistores RS1, RS2 e RS3 do circuito estrela são convertidos nos resistores RD1, RD2 e RD3 do circuito delta com os valores de resistência correspondentes, de modo que os valores de corrente e tensão entre os terminais 1 e 3 sejam idênticos.

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Vamos provar isso:
Na conexão em estrela, a resistência equivalente entre os pontos de conexão 1 e 2 é obtida por meio de um curto-circuito nas conexões 2 e 3. Assim, uma condutância equivalente é formada a partir da R_S1 e da conexão paralela da RS₂ com a R_S3.
Se os mesmos pontos forem curto-circuitados no circuito delta equivalente, a condutância total resultará da conexão paralela dos resistores R_D1 e R_D2.

O lado esquerdo  com um denominador comum resulta:

O mesmo aplicado ao terminal 3 e aos terminais 1 e 2 em curto-circuito:

O mesmo aplicado ao terminal 2 e aos terminais 1 e 3 em curto-circuito:

Nós adicionamos:   Eq. (1) + Eq. (2)  - Eq. (3):

Resolva essa equação para R_D1:

O mesmo procedimento se aplica aos outros ramos ou resistores.

Exercícios Transformação estrela-triângulo

Determine a resistência total entre os terminais A e B.

R1 = R2 = 10 Ω;  R3 = 20 Ω,  R4 = R5 = 30 Ω