Linienbild und Zeigerbild einer Sinusgröße
Momentanwerte, Winkelgeschwindigkeit
Sinusförmige Wechselgrößen lassen sich sowohl im Liniendiagramm als auch als Zeiger darstellen. Beim Zeigerbild rotiert der Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn. Die Zeigerlänge entspricht dem Scheitelwert der Wechselgrößen.
Wechselspannungstechnik - Linienbild Zeigerbild
Bei gegebenen Scheitelwert us kann für jeden Zeitpunkt bzw. Winkel der Momentanwert u(t) einer sinusförmigen Wechselspannung berechnet werden:
u(t) = f(α) = us sin(α) (1)
Im Zeigerdiagramm legt der Zeiger mit der Länge r innerhalb einer Periode den Weg s zurück, welcher dem Umfang entspricht:
s = 2 π r (2)
Die Periodendauer hängt direkt mit der Umlaufgeschwindigkeit v zusammen:
v = (2 π r) da t = T (3)
. T
Um von dem Wert des Radius unabhängig zu sein, bezieht man sich nun auf den Einheitskreis mit r = 1 und gelangt so zur Winkelgeschwindigkeit ω mit der Einheit s-1:
ω = v = ( 2 π ) wobei f = 1 / T
. r T
=> ω = 2 π f (4)
Die Winkelgeschwindigkeit ω ist die Winkeländerung pro Zeit.
Der in einer bestimmten Zeit durchlaufene Winkel wird durch folgende Gleichung bestimmt:
α = ω t = 2 π f t (5)
Sind Scheitelwert und Frequenz der Wechselgröße bekannt, dann lässt sich der Momentanwert für jeden Zeitpunkt bestimmen:
u = f(t) = us * sin(ω t) = us * sin(2 π f t) (6)
Übungsbeispiel
Unsere Netzspannung hat den Effektivwert 230 V sowie eine Netzfrequenz von 50 Hz. Bestimmen Sie für die Werte + 100 V und – 100 V Momentanspannung die Zeitpunkte beginnend vom Nulldurchgang.
