Rechnen mit Komplexen Zahlen
Darstellungsarten komplexer Zahlen
Es gibt drei Darstellungsarten für Komplexe Zahlen: Die Komponentenform, die trigonometrische Form und die Eulersche Form mit ihren Vor- und Nachteilen. Hier lernen Sie, wie man Komplexe Zahlen in eine Darstellungsart überführt.
Komplexe Zahlen - Darstellungsarten - Komponentenform - Trigonometrische Form - Eulersche Form
Umrechnung Komponentenform in Trigonometrische Form:
Ι Z Ι = r = √(x2 + y2)
mit x = r cosϕ und y = r sinϕ
=> Z = r (cosϕ + i · sinϕ) und φ = arctan (y/x) sind die x- und y- Koordinaten klar definiert.
Herleitung Eulersche Form für Komplexe Zahlen:
Mac Laurinschen Reihe für eϕ: eϕ = 1+ φ + φ2 + φ3 + φ4 +…
. 1! 2! 3! 4!
Ersetze φ durch j·φ, so erhält man:
ejϕ = 1+ jφ + (jφ)2 + (jφ)3 + (jφ)4 +… = 1+ jφ - φ2 - jφ3 + φ4 +… =
. 1! 2! 3! 4! 1! 2! 3! 4!
ejϕ = 1 - φ2 + φ4 + j ( φ - φ3 + φ5 -… )
. 2! 4! 3! 5!
. |_________| |___________|
cos φ sin φ (nach Definition der Sinus- und Kosinus-Reihe)
=> ejϕ = cos φ + j sinφ
bzw. mit Berücksichtigung der Länge des Zeigers folgt: Z = r × e iϕ
Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen wird am einfachsten mit der Normalform durchgeführt. Dabei werden einfach deren Realteile und Imaginärteile addiert oder subtrahiert:
Z1 = a + i·b => Z1 + Z2 = (a + c) + i (b + d)
Z2 = c + i·d Z1 - Z2 = (a - c) + i (b - d)
Multiplikation und Division komplexer Zahlen
Die Multiplikation bzw. Division komplexer Zahlen wird am einfachsten mit der Exponential- oder Polarform ausgeführt. Hier sind bei der Multiplikation die Beträge zu multiplizieren und die Winkel zu addieren. Bei der Division werden die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert:
Multiplikation - Division Komplexer Zahlen
Konjugiert komplexe Zahlen
Wird der Zeiger einer komplexen Zahl an der reellen Achse gespiegelt, so erhält man den Zeiger der konjugiert komplexen Zahl. Dabei wechselt nur die imaginäre Komponente das Vorzeichen.
Konjugiert komplexe Zahlen
Bemerkung: Die Multiplikation einer komplexen Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl ergibt ein reelles Ergebnis. Damit können komplexe Anteile aus einem Gleichungssystem entfernt werden.
Merke:
- Bei komplexen Zahlen sind die Begriffe 'größer als' oder 'kleiner als' nicht definiert.
- Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie in ihren Real- und Imaginärteilen gleich sind.
- Eine komplexe Zahl mit dem Imaginärteil gleich null ist ein Element der reellen Zahlen.
- Eine komplexe Zahl mit dem Realteil gleich null ist ein Element der imaginären Zahlen.
- Zwei komplexe Zahlen sind konjugiert komplex, wenn sie sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden.