Cálculo de números complexos
As formas dos números complexos
Os números complexos podem ser representados de três formas: a forma algébrica, forma trigonométrica e com a fórmula de Euler, com todas as suas vantagens e desvantagens. Qual é a relação entre essas formas de representação?
As formas dos números complexos
Converta a forma componente para a forma trigonométrica:
Ι Z Ι = r = √(x2 + y2)
com x = r cosϕ e y = r sinϕ
=> Z = r (cosϕ + i · sinϕ) e φ = arctan (y/x) as coordenadas x e y estão claramente definidas.
Derivação da fórmula de Euler para números complexos:
MacLaurin's series para eϕ: eϕ = 1+ φ + φ2 + φ3 + φ4 +…
. 1! 2! 3! 4!
Substitua φ por j·φ e você obterá:
ejϕ = 1+ jφ + (jφ)2 + (jφ)3 + (jφ)4 +… = 1+ jφ - φ2 - jφ3 + φ4 +… =
. 1! 2! 3! 4! 1! 2! 3! 4!
ejϕ = 1 - φ2 + φ4 + j ( φ - φ3 + φ5 -… )
. 2! 4! 3! 5!
. |_________| |___________|
cos φ sin φ
(de acordo com a definição das séries do seno e do cosseno)
=> ejϕ = cos φ + j sinφ
ou, levando em conta o comprimento do ponteiro, tem-se o seguinte:
Z = r × e iϕ
Adição e subtração de números complexos
A soma e a subtração de números complexos são mais facilmente realizadas na forma algébrica. Simplesmente some ou subtraia suas partes reais e imaginárias:
Z1 = a + i·b => Z1 + Z2 = (a + c) + i (b + d)
Z2 = c + i·d => Z1 - Z2 = (a - c) + i (b - d)
Multiplicação e divisão de números complexos
A maneira mais fácil de multiplicar ou dividir números complexos é usar a fórmula exponencial ou a forma de Euler. Nesse caso, na multiplicação, os valores devem ser multiplicados e os ângulos somados. Na divisão, os valores são divididos e os ângulos subtraídos:
O conjugado de um número complexo
O conjugado complexo é fácil de obter: basta inverter o sinal da parte imaginária do número complexo. Isso corresponde a um espelhamento do ponteiro no eixo real.
O conjugado de um número complexo
Nota: A multiplicação de um número complexo pelo seu conjugado complexo resulta em um número real. Isso permite que as partes complexas sejam eliminadas de um sistema de equações.
Mnemônicos
- Para números complexos, os termos “maior que” ou “menor que” não estão definidos.
- Dois números complexos são iguais se suas partes real e imaginária forem iguais.
- Um número complexo cuja parte imaginária é igual a zero pertence ao conjunto dos números reais.
- Um número complexo cuja parte real é zero pertence ao conjunto dos números imaginários.
- Dois números complexos são conjugados complexos se diferirem apenas no sinal da parte imaginária