El cálculo con números complejos
Las formas de los números complejos
Los números complejos pueden representarse de tres formas: en forma algebraica, en forma trigonométrica y mediante la fórmula de Euler, cada una con sus ventajas e inconvenientes. ¿Cuál es la relación entre estas formas de representación?
Las formas de los números complejos
Convierte la forma componente en forma trigonométrica:
Ι Z Ι = r = √(x2 + y2)
con x = r cosϕ y y = r sinϕ
=> Z = r (cosϕ + i · sinϕ) and φ = arctan (y/x) tlas coordenadas x e y están claramente definidas.
Derivación de la fórmula de Euler para números complejos:
MacLaurin's series para eϕ: eϕ = 1+ φ + φ2 + φ3 + φ4 +…
. 1! 2! 3! 4!
Sustituye φ for j·φ y obtendrás:
ejϕ = 1+ jφ + (jφ)2 + (jφ)3 + (jφ)4 +… = 1+ jφ - φ2 - jφ3 + φ4 +… =
. 1! 2! 3! 4! 1! 2! 3! 4!
ejϕ = 1 - φ2 + φ4 + j ( φ - φ3 + φ5 -… )
. 2! 4! 3! 5!
. |_________| |___________|
cos φ sin φ (según la definición de las series del seno y del coseno)
=> ejϕ = cos φ + j sinφ
O bien, teniendo en cuenta la longitud de la aguja, se obtiene lo siguiente: Z = r × e iϕ
Suma y resta de números complejos
La suma y la resta de números complejos se realizan más fácilmente en forma algebraica. Basta con sumar o restar sus partes reales e imaginarias:
Z1 = a + i·b => Z1 + Z2 = (a + c) + i (b + d)
Z2 = c + i·d Z1 - Z2 = (a - c) + i (b - d)
Multiplicación y división de números complejos
La forma más sencilla de multiplicar o dividir números complejos es utilizar la fórmula exponencial o la forma de Euler. En este caso, en la multiplicación, hay que multiplicar los valores y sumar los ángulos. En la división, hay que dividir los valores y restar los ángulos:
Multiplication and division of complex numbers
El conjugado de un número complejo
El conjugado de un número complejo es fácil de obtener: basta con invertir el signo de la parte imaginaria del número complejo. Esto equivale a reflejar el número en el eje real.
El conjugado de un número complejo
Nota: La multiplicación de un número complejo por su conjugado complejo da como resultado un número real. Esto permite eliminar las partes complejas de un sistema de ecuaciones.
Mnemotécnicos
- En el caso de los números complejos, los términos «mayor que» o «menor que» no están definidos.
- Dos números complejos son iguales si sus partes real e imaginaria son iguales.
- Un número complejo cuya parte imaginaria es igual a cero pertenece al conjunto de los números reales.
- Un número complejo cuya parte real es cero pertenece al conjunto de los números imaginarios.
- Dos números complejos son complejos conjugados si solo difieren en el signo de la parte imaginaria.