Calcular con números complejos

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Calculating with Complex numbers

Representations for Complex Numbers

There are three types of representation for complex numbers: The component form, the trigonometric form, and the Exponential form, with all their advantages and disadvantages. Here you will learn how to convert complex numbers into one type of representation. 

Representations for Complex Numbers

Representations for Complex Numbers


Convert the component form into trigonometric form:

Ι Z Ι = r = (x2 + y2)

with x = r cosϕ and y = r sinϕ  

=>  Z = r (cosϕ + i · sinϕ)  and φ = arctan (y/x) the x- and y-coordinates are clearly defined.


Derivation of Euler's form for complex numbers:

MacLaurin's series for eϕ:  eϕ  = 1+ φ + φ2 + φ3 + φ4  +…
.                                                       1!    2!     3!     4!

Replace φ for j·φ and you get:

ejϕ  = 1+ + (jφ)2 + (jφ)3 + (jφ)4  +…  = 1+ - φ2 - jφ3 + φ4 +…  =
.              1!      2!        3!       4!                     1!    2!     3!     4!

ejϕ  =  1 -  φ2  + φ4  +  j (  φ  -  φ3 + φ5 -…  )   
               2!      4!                   3!     5!
        |_________|           |___________|
                   cos φ                    sin φ    (according to the definition of the sine and cosine series)

=>  ejϕ  = cos φ + j sinφ

or with consideration of the length of the pointer follows:     Z = r × e iϕ


Addition and subtraction of complex numbers

The addition and subtraction of complex numbers is most easily done with the Algebraic form. Simply add or subtract their real and imaginary parts:

Z1 = a + i·b     =>   Z1 + Z2 = (a + c) + i (b + d)   

Z2 = c + i·d            Z1 - Z2  = (a - c) + i (b - d)  


Multiplication and division of complex numbers

The easiest way to multiply or divide complex numbers is to use the exponential formula or Eulers form. Here, when multiplying, the amounts must be multiplied and the angles added. In division, the amounts are divided and the angles are subtracted:

Multiplication and division of complex numbers

Multiplication and division of complex numbers


The complex conjugate

You get the complex conjugate simply by changing the sign of the imaginary part of the complex number. It corresponds to a mirroring of the pointer on the real axis.

The complex conjugate

The complex conjugate

Note: Multiplying a complex number by its complex conjugate gives a real number. This allows complex parts to be removed from a system of equations.


Mnemonics

  • For complex numbers, the terms 'greater than' or 'less than' are not defined.
  • Two complex numbers are equal if their real and imaginary parts are equal.
  • A complex number with the imaginary part equal to zero is a member of the real numbers.
  • A complex number with zero real part is a member of the imaginary numbers.
  • Two complex numbers are complex conjugate if they differ only in the sign of the imaginary part.

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Rechnen mit Komplexen Zahlen

Darstellungsarten komplexer Zahlen

Es gibt drei Darstellungsarten für Komplexe Zahlen: Die Komponentenform, die trigonometrische Form und die Eulersche Form mit ihren Vor- und Nachteilen. Hier lernen Sie, wie man Komplexe Zahlen in eine Darstellungsart überführt. 

Komplexe Zahlen - Darstellungsarten - Komponentenform - Trigonometrische Form - Eulersche Form

Komplexe Zahlen - Darstellungsarten - Komponentenform - Trigonometrische Form - Eulersche Form


Umrechnung Komponentenform in Trigonometrische Form:

Ι Z Ι = r = (x2 + y2)

mit x = r cosϕ und y = r sinϕ  

=>  Z = r (cosϕ + i · sinϕ)  und φ = arctan (y/x) sind die x- und y- Koordinaten klar definiert. 


Herleitung Eulersche Form für Komplexe Zahlen:

Mac Laurinschen Reihe für eϕ:  eϕ  = 1+ φ + φ2 + φ3 + φ4  +…
.                                                               1!    2!     3!     4!

Ersetze φ durch j·φ, so erhält man:

ejϕ  = 1+ + (jφ)2 + (jφ)3 + (jφ)4  +…  = 1+ - φ2 - jφ3 + φ4 +…  =
             1!      2!        3!       4!                     1!    2!     3!     4!

ejϕ  =  1 -  φ2  + φ4  +  j (  φ  -  φ3 + φ5 -…  )   
               2!      4!                   3!     5!
.      |_________|       |___________|
                cos φ                   sin φ    (nach Definition der Sinus- und Kosinus-Reihe)

=>  ejϕ  = cos φ + j sinφ

bzw. mit Berücksichtigung der Länge des Zeigers folgt:     Z = r × e iϕ


Addition und Subtraktion komplexer Zahlen

Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen wird am einfachsten mit der Normalform durchgeführt. Dabei werden einfach deren Realteile und Imaginärteile addiert oder subtrahiert:

Z1 = a + i·b     =>   Z1 + Z2 = (a + c) + i (b + d)   

Z2 = c + i·d            Z1 - Z2  = (a - c) + i (b - d) 


Multiplikation und Division komplexer Zahlen

Die Multiplikation bzw. Division komplexer Zahlen wird am einfachsten mit der Exponential- oder Polarform ausgeführt. Hier sind bei der Multiplikation die Beträge zu multiplizieren und die Winkel zu addieren. Bei der Division werden die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert:  

Multiplikation - Division Komplexer Zahlen

Multiplikation - Division Komplexer Zahlen


Konjugiert komplexe Zahlen

Wird der Zeiger einer komplexen Zahl an der reellen Achse gespiegelt, so erhält man den Zeiger der konjugiert komplexen Zahl. Dabei wechselt nur die imaginäre Komponente das Vorzeichen.

Konjugiert komplexe Zahlen

Konjugiert komplexe Zahlen

Bemerkung: Die Multiplikation einer komplexen Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl ergibt ein reelles Ergebnis. Damit können komplexe Anteile aus einem Gleichungssystem entfernt werden.


Merke:

  • Bei komplexen Zahlen sind die Begriffe 'größer als' oder 'kleiner als' nicht definiert.
  • Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie in ihren Real- und Imaginärteilen gleich sind.
  • Eine komplexe Zahl mit dem Imaginärteil gleich null ist ein Element der reellen Zahlen.
  • Eine komplexe Zahl mit dem Realteil gleich null ist ein Element der imaginären Zahlen.
  • Zwei komplexe Zahlen sind konjugiert komplex, wenn sie sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden.

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