Komplexe Zahlen - Grundlagen

Komplexe Zahlen werden hauptsächlich in der Elektrotechnik verwendet. Man denke nur an die Phasenverschiebung von induktiven und kapazitiven Lasten oder die Berechnung von komplexen Widerständen. Lassen Sie uns also gemeinsam die ersten Schritte unternehmen, um diese komplexen Zahlen zu verstehen.

Übersicht - Zahlenmengen in der Mathematik

Zahlenmengen in der Mathematik

Zur Menge der natürlichen Zahlen {N} gehören nur positive ganze Zahlen. Man verwendet die natürlichen Zahlen somit zum Abzählen von Elementen.

Die Menge der ganzen Zahlen Z beinhaltet zusätzlich noch die negativen Zahlen.

Definition Integer

Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen.

Die Menge der rationalen Zahlen {Q} enthält alle Zahlen, die als Bruch von zwei ganzen Zahlen geschrieben werden können. Q steht hier für Quotient. 

Beispiele: 5/2 (= 2,5), 10/5 (= 2), -3/100 (= -0,3)

Falls eine Zahl nicht als einen Bruch von zwei ganzen Zahlen geschrieben werden kann, gehört sie zur Menge der irrationalen Zahlen {I}.

Beispiele: Kreiszahl Pi = 3,1415…, Eulersche Zahl e = 2,71828, √2 = 1,41421

Merkmal dieser irrationalen Zahlen sind, dass sie unendliche viele Nachkommastellen haben, die sich mit einem regelmäßigen Muster wiederholen (periodisch sind).

Unterschied zwischen rationale and irrationale Zahl

Eine Komplexe Zahl besteht aus einem reellen und einem imaginäre Teil:

Komplexe Zahl

Wie Sie sehen können, sind alle reellen Zahlen auch komplexe Zahlen mit einem Imaginärteil von Null.

Diese Art der Darstellung ist bezeichnet als Komponenten- oder algebraische Form. Eine andere Darstellungsmöglichkeit ist die Trigonometrische Form und daraus abgeleitet die Eulersche Form. Hier erfolgt die Angabe über Zeigerlänge und Winkel:       

z = r × e ^iφ

Komplexe Zahlen - Darstellungsmöglichkeiten