Unsymmetrische Last

Unsymmetrische Belastung

Eine unsymmetrische Belastung in einem Drehstromsystem tritt auf, wenn der Strom oder die Spannung in jeder Phase eines dreiphasigen Stromnetzes ungleich ist. Dies ist dann der Fall, wenn die an jede Phase angeschlossenen Lasten unterschiedliche Leistungen haben oder Fehler im System auftreten z.B. Beim Ausfall einer Phase.

Betrachtung Sternschaltung mit Neutralleiter und rein ohmschen Widerständen

Unsymmetrische Belastung - Sternschaltung mit Neutralleiter

Haben nun die Widerstände R₁, R₂ und R₃ nicht den gleichen Widerstandswert, so sind die Strangströme (welche bei der Sternschaltung zugleich die Leiterstrome darstellen) unterschiedlich. Dadurch fliesst durch den N-Leiter ein Ausgleichsstrom, welchen wir durch Zeigeraddition ermitteln koennen.

Lösungsmöglichkeit 1:  Ohne komplexe Zahlen

Rechnerisch erfolgt die Addition der Zeiger erfolgt über die Addition der Polarkoordinaten:

Berechnung Unsymmetrische Last 2

Lösungsmöglichkeit 2:  Mit komplexe Zahlen

Ströme werden in Komponentenform dargestellt. Die Real-Teile und die Imaginärteile werden jeweils addiert.

Rechenbeispiel

An einer Sternschaltung mit Neutralleiter (4-Leitersystem) sind die Widerstände R₁ = 100 Ω, R₂ = 80 Ω und R₃ = 50 Ω angeschlossen. Berechnen Sie den Ausgleichsstrom I_N sowie die Gesamtleistung und skizzieren Sie das Zeigerbild der Stöme.

Lösungsmöglichkeit 1:  Ohne komplexe Zahlen

Berechnung Unsymmetrische Last x und y-Werte

Damit I_N = - 1,438 A + j 1,49 A = 2,07 A e^-j226°

Lösungsmöglichkeit 2:  mit komplexen Zahlen

I₁ = 230 V = 2,3 A e^-j0° = 2,3 A
.      100 Ω

I_{2 =} 230 V e^-j120°  = 2,875 A e^-j120° = - 1,438 A - j 2,49 A
.      80 Ω

I_{3 =} 230 V e^-j240°  = 4,6 A e^-j240° = - 2,3 A + j 3,98 A
.      50 Ω

I_N = I₁ + I₂ + I₃ = 2,3 A  -1,438 A - j 2,49 A - 2,3 A + j 3,98 A
I_N = -1,438 A + j 1,49 A

_______

Das Zeigerbild nicht maβstäblich:

Berechnung Unsymmetrische Last Zeigerbild

Die Gesamtleistung als Addition der einzelnen Strangleistungen:

P_ges = P₁ + P₂ + P₃ = I₁ R₁² + I₂ R₂² + I₃ R₃²

P_ges = 2,3 A (100 Ω)² + 2,875 A (80 Ω)² +4,6 A (50 Ω)² = 2248,25 W

Betrachtung Sternschaltung mit Neutralleiter und induktiver bzw. kapazitiver Last

Stern-Schaltung mit N-Leiter und unsymmetrischer Belastung mit induktiver und kapazitiver Last

Rechenbeispiel

In einem unsymmetrisch belasteten Drehstromnetz ergeben sich bei einer Messung die folgenden Stroeme und Leistungsfaktoren:

• • • Aussenleiter L₁:   I₁ = 15 A rein ohmisch (cos φ = 1)
    • Aussenleiter L₂:   I₂ = 25 A induktiv (cos φ = 0,7)
    • Aussenleiter L₃:   I₃ = 20 A kapazitiv (cos φ = 0,9)

Ermitteln Sie den sich ergebenden Neutralleiterstrom I_N.

Lösungsvorschlag:

I₁ =  15 A e^-j0° = 2,3 A

I₂:  cos φ = 0,7 induktiv  =>  φ = - 45,57^° Strom hinkt hinterher

I_{2 =} = 25 A e  ^{j(-120° - 45,57°)} = 25 A e ^{- j165,27°} = -24,18 A - j 6,35 A

I₃:  cos φ = 0,9 kapazitiv  =>  φ = + 25,84^° Strom eilt vor

I₃  = 20 A e  ^{j (-240° + 25,84°)} = 20 A e ^{- j214,16°} = -16,55 A + j 11,23 A

I_N = I₁ + I₂ + I₃ = 2,3 A - 24,18 A -16,55 A - j 6,35 A + j11,23 A = - 38,43 A + j 4,88 A

I_N = 38,74 e  ^{j (- 7,24° + 180°)} = 38,74 e  ^{j 172,76°}  (Zeiger befindet sich im II Quadranten)