Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik

In der Mathematik ist es üblich, den imaginären Teil mit i zu bezeichnen. In der Elektrotechnik wird der Buchstabe i jedoch für den elektrischen Strom verwendet. Um eine Verwechslung auszuschließen, verwenden wir im folgenden j für den imaginären Teil:   Z = x + j y

Beispiele für die Anwendung der komplexen Zahlen in der Elektrotechnik nun im Folgenden:

Beispiel 1:   Reihenschaltung aus R und X_bl

Bestimmen Sie rechnerisch und grafisch den komplexen Wíderstand Z der Reihenschaltung aus rein ohmschen Wíderstand R = 120 Ω und induktivem Blindwiderstand X_bl = 80 Ω.

Lösung:

Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik - RL-Reihenschaltung

Beispiel 2:   Reihenschaltung aus R und X_bC

Reihenschaltung mit kapazitivem Blindwiderstand

Bestimmen Sie für die dargestellte Reihenschaltung den komplexen Wíderstand. Die Frequenz sei 50 Hz.

(R = 680 Ω, C = 4,7 μF).

Komplexe Zahlen - Reihenschaltung mit kapazitivem Blindwiderstand X_bc

Beispiel 3:   Parallelschaltung aus R und X_bl

Bestimmen Sie den komplexen Wíderstand Z einer Parallelschaltung aus rein ohmschen Wíderstand R = 120 Ω und induktivem Blindwiderstand X_bl = 80 Ω.

Lösungsweg 1:    Bestimmung des Gesamtwiderstand über die Leitwerte

Komplexe Zahlen - Parallelschaltung ohmscher Widerstand und induktivem Blindwiderstand

Bei einer Parallelschaltung addieren sich die Leitwerte!

G =  1   =     1        =   8,333 mS
.       R       120 Ω

B_L =  1   =     1        =   - j12,5 mS
.        X_L       j80 Ω

⇒  Y = 8,333 mS - j 12,5 mS

Um auf den komplexen Wíderstand zu gelangen, wandeln wir die kartesische Formin die Polarform um, damit wir den Kehrwert bilden können:

lYl = sqrt (G²  + B_L² )  = sqrt (8,333² + 12,5²) mS = 15,023 mS

φ = arctan^-1 (B_L / G)  = arctan^-1 (12,5 / 8,333) = - 56,31°

⇒  Y = 15,023 e^-j56,31° mS

Z =  1    =         1                                 = 66,565 e ^j56,31° Ω
.       Y           15,023 e ^-j56,31° mS

Lösungsweg 2:    Berechnung ohne Umweg

Rechnen mit komplexen Zahlen Parallelschaltung R und L

Beispiel 4:   Parallelschaltung aus R und X_bC

Bestimmen Sie den komplexen Wíderstand Z einer Parallelschaltung aus rein ohmschen Wíderstand R = 120 Ω und kapazitivem Blindwiderstand X_bc = 80 Ω.

Komplexe Zahlen - Parallelschaltung ohmscher Widerstand mit kapazitivem Blindwiderstand

Lösungsweg 1:    Bestimmung des Gesamtwiderstand über die Leitwerte

Bei einer Parallelschaltung addieren sich die Leitwerte!

Komplexe Zahlen - Parallelschaltung ohmscher Widerstand mit kapazitivem Blindwiderstand Beispielrechnung