Zahlensysteme

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Zahlensysteme

Beispiel: Das unten abgebildete Gerät zählt „Smilies“. Der aktuelle Zählwert ist `1 0` Wie viele Smilies haben Sie tatsächlich?

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Wir sind es gewohnt, Zahlenwerte im Dezimalsystem darzustellen. Aber in der Automatisierungstechnik ist das Dezimalsystem - nur eines von anderen gleichen Zahlensystemen.

Merkmale eines Zahlensystems

Allen heute gebräuchlichen Zahlensystemen ist folgendes gemeinsam:

  • Die Ziffer (zum Beispiel 0 ....9, 0...f usw.)
  • Die Basis
  • Die Position, die die Ziffer innerhalb der Zahl einnimmt, bestimmt die Wertigkeit

Wie der Zahlenwert gebildet wird, ist im Prinzip für alle Zahlensysteme gleich. Das wollen wir für verschiedene Zahlensysteme mit unterschiedlichen Basen zeigen.


Dezimalsystem erklärt

Das Dezimalsystem hat folgende Merkmale:

  • Zehn Ziffer:      0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
  • Basis bzw. Grundzahl:      10
  • Wertigkeit: Ein Multiplikator zur   10: 1, 10, 100, 1000, etc.

Ein kleines Beispiel:

Dezimalsystem erklärt

Dezimalsystem erklärt

Die Darstellung der Zahl 205 ist in Wirklichkeit eine abgekürzte Schreibweise der Summe 200 + 0 + 5 = 205!


Dual-Zahlensystem bzw. Binärzahlensystem

Die Funktionsweise des Computers basiert auf dem Binären Zahlensystem. Das duale System wiederum basiert auf der Basis 2. Damit ist auch die Anzahl der Ziffern des Zeichensatzes des Zahlensystems bestimmt.

  • Zwei Zeichen:     0, 1
  • Basis bzw. Grundzahl:      2
  • Wertigkeit: Hochzahl 2 zur Basis: 20, 21, 22, 23, etc.

Beispiel:

Dualzahlensystem bzw. Binärzahlen erklärt

Dualzahlensystem bzw. Binärzahlen erklärt

Das Beispiel zeigt, dass eine Binärzahl eine größere Anzahl von Stellen hat als die entsprechende Dezimalzahl. Mit 8 Stellen können Binärzahlen Werte bis 255 darstellen, mit 16 Stellen bis 65 535.


Hexadezimalsystem

Das Hexadezimalsystem hat die Zahl 16 als Basis. Wie bereits erwähnt, bestimmt die Basis die Anzahl der einzelnen Ziffern des Zeichensatzes – hier haben wir die Ziffern 0 bis 9 und die Buchstaben A bis F.

Das Hexadezimalsystem wird verwendet, um große Zahlen mit möglichst wenigen Ziffern und Zeichen darzustellen. Außerdem ist eine Umwandlung einer Binärzahl in eine Hexadezimalzahl und umgekehrt sehr einfach.

Ziffer: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Basis: 16
Wert: Potenz zur Basiszahl 16

Beispiel:

Hexadezimalsystem

Hexadezimalsystem

Beziehung zwischen Dualcode und Hexadezimalcode:

Zusammenhang Hexadezimalsystem und Binärsystem

Zusammenhang Hexadezimalsystem und Binärsystem

Wenn wir die binär codierte Zahl „1100 1101“ mit der Zahl in Hex „CD“ vergleichen, erkennen wir, dass immer 4 Binärziffern eine Hexadezimalziffer bilden. Der Grund ist, dass mit 4 Binärzahlen genau 16 Zahlen dargestellt werden können (von 0 bis F).

Beispiel: 1111 1111 1111 1111 Dual in Hex?

 


Binary coded Decimal (BCD)

The BCD-code converts each digit of a decimal numbers into a binary number and therefore is not another number system. The BCD code is required primarily for inputs and outputs.

Binär Codierte Dezimalzahl BCD

Binär Codierte Dezimalzahl BCD

Binär Codierte Dezimalzahl BCD - Aufbau

Binär Codierte Dezimalzahl BCD - Aufbau

Diese Darstellung wird Binary Coded Decimal oder abgekürzt BCD-Code genannt. Die einzelnen Ziffern werden mit vier Binärziffern (Bits) verschlüsselt. Die Darstellung mit 4 Bits ergibt sich aus der Tatsache, dass die höchstwertige Dezimalziffer (910) in der binären Darstellung mindestens 4 Ziffern (1001) benötigt.
Für die Darstellung der zehn Dezimalziffern 0 bis 9 im BCD-Code wird die gleiche Darstellung verwendet wie für die Binärzahlen von 0 ... 9.

6 Von den 16 möglichen Kombinationen mit vier Binärziffern bleiben die letzten 6 Kombinationen ungenutzt. Wir nennen diese Kombinationen "verboten" und bezeichnen sie als Pseudo-Tetraden.

 

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