Regelungstechnik und Laplace-Transformation
Der Prozess und damit der geschlossene Regelkreis ist immer ein dynamischer Prozess, Regler sind fast immer dynamische Systeme, d.h. Systemen, welche zeitlichen Änderungen unterliegen. Damit kann man sagen, dass die Regelungstechnik dynamische Systeme beschreibt. Dynamische Prozesse können mit Differentialgleichungen beschrieben werden.
Regelungstechnik - Beschreibung von dynamischen Systeme
Wie lässt sich da Ein- Ausgangsverhalten dieses dynamischen Systems beschreiben?
Regelungstechnik - Beschreibung dynamischer Systeme im Zeitbereich
Wenn man den Verlauf der Geschwindigkeit v(t) bei gegebener Antriebskraft fS(t) beschreiben möchte, eröffnen sich folgende Fragen?
- Was macht das Boot, wenn kein Wind weht?
- Was passiert, wenn der Wind bei t=0 beginnt zu wehen? Damit gemeint eine Anregung des dynamischen Systems ab t=0 mit der Kraft fS(t)
Ziel: Charakterisierung des Systemverhaltens. Hier kommt die Laplace-Transformation ins Spiel:
Regelungstechnik - Charakterisierung des Systemverhaltens durch die Laplace-Transformation
Bemerkung: Durch die Laplace-Transformation werden die Differentialgleichungen zu algebraischen Gleichungen. Die Rücktransformation ist allerdings schwierig (Integration über komplexe Variable, Funktionentheorie). Daher verwendet man in der Praxis Korrespondenztabellen (z.B. Bronstein).
Wir führen die Laplace-Transformation nun auf unser Beispiel aus:
Laplace-Transformation am einfachen Beispiel
Zusammengefasst haben wir nun ein Problem im Zeitbereich übertragen im Frequenzbereich. Die Differentialgleichung im Zeitbereich wurde nun umgeformt in eine algebraische Gleichung:
Laplace-Transformation - Sinn und Zweck
Das nächste Ziel ist es, das Systemverhalten vollständig unabhängig vom Eingangssignal zu beschreiben. Dies wird mit der Übertragungsfunktion G(s) erreicht, welches das Verhältnis Ausgangssignal zu Eingangssignal darstellt:
Regelungstechnik - Übertragungsfunktion
Eine häufige Anwendung dieser Übertragungsfunktion ist das Verhalten der Ausgangsgröße über die Zeit bei einem Einheitssprung am Eingang zu beschreiben. Betrachten wir das Beispiel Segelboot nochmals:
Gesucht: Verlauf der Geschwindigkeit v(t) bei gegebenem fS(t)
Was passiert, wenn der Wind bei t=0 beginnt zu wehen? D.h. Anregung des dynamischen Systems, ab t=0 mit Kraft fS(t):
Regelungstechnik - Laplace-Transformation am praktischen Beispiel
Aufgezeichnet mittels Diagramms lässt erkennen, dass es sich hier um ein Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1) handelt:
Regelungstechnik - Sprungantwort PT1-Strecke