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Aufgaben zur Kurvendiskussion

$Aufgabe 1: f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Kurvendiskussion Übungsaufgabe 1

Diskutieren Sie die genannte Funktion!

Da die Funktion ganzrational ist und keine Wurzeln oder Logarithmen besitzt, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_{f} = R$ .

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Nullstellenbestimmung

Bed.: f(x) = 0 ⇔ 2x⁴ − 4x² + 1 = 0

$Trick: Durch Substitution lässt sich aus der biquadratischen Gleichung ein Polynom zweiten Grades bilden. Wir ersetzen x 2 mit u und erhalten: f (u) = 2u 2 - 4u + 1$

Setze nun f(u) = 0 und wir erhalten:
2u² − 4u + 1 = 0

Anwendung der Mitternachtsformel:

u₁₂ = -(-4) ± √((-4)² - 4 $\cdot$ $2 \cdot 1$
. $2 \cdot 2$ 4

Wir erhalten für u nun zwei Lösungen:

$u 1 = 1 + 0, 5$

Durch Resubstitution, sprich Rückgängigmachen der Substitution, erhalten wir die Werte für x:

$x 2 = 1 + 0, 5$
$x 2 = 1 - 0, 5$

Damit erhält man insgesamt vier Nullstellen:
$N_{1} (1, 31 ∣ 0), N_{2} (- 1, 31 ∣ 0), N_{3} (0, 54 ∣ 0), N_{4} (- 0, 54 ∣ 0)$
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Ableitungen (zur Ermittlung der ggfalls vorhandenen Extrem- und Wendepunkte)

$f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + 1$
$f^{'} (x) = 8x^{3} - 8x$
$f^{''} (x) = 24 x^{2} - 8$

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Ermittlung der Extrempunkte:

notw. Bed.: $f^{'} (x) = 0$
$\Leftrightarrow$ $f^{'} (x) = 8x^{3} - 8x = x(8x 2 - 8) = 0$

mögl. Extremwerte:
x₁ = 0
aus 8x² - 8 = 0 ⇒ x² = 1 ⇒ $x_{2} = 1$ und $x_{3} = - 1$

Mittels der zweiten Ableitung prüfen wir, ob die gefundenen Werte ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte sind:

f′′(0) = 24⋅0²− 8 = −8 ⇒ da f′′(1) < 0 befindet sich an der Stelle x=0 ein Hochpunkt.
Bestimmung des y-Wertes: f(0) = 2⋅0 − 4⋅0 + 1 = 1
HP(0∣1)

f′′(1) = 24⋅12 − 8 = 16 ⇒ da f′′(1) > 0 befindet sich an der Stelle x=1 ein Tiefpunkt.
Bestimmung des y-Wertes: f(1) = 2⋅14 − 4⋅12 + 1 = −1
TP(1∣−1)

f′′(-1) = 24⋅12 − 8 = 16 ⇒ da f′′(-1) > 0 befindet sich an der Stelle x=-1 ein Tiefpunkt.
Bestimmung des y-Wertes: f(-1) = 2⋅14 − 4⋅12 + 1 = −1
TP(-1∣ -1)

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Ermittlung möglicher Wendepunkte:

notw. Bed.: $f^{''} (x) = 0 \Leftrightarrow 24 x^{2} - 8 = 0$

Erg.: x_1,2 = ± 1/√3
Überprüfung, ob die gefundenen x-Stellen tatsächlich Wendestellen sind duch die hinreichende Bed. f′′′(x) ≠ 0:

f′′′(±1/√3) = ± 24 /√3 ≠ 0, damit ist die Bed. erfüllt.

Zur Bestimmung der Wendepunkte gehört auch, dass die y-Werte bekannt sind. Wir ermitteln diese durch Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung:

f(−1/√3) = 2⋅(−1/√3)⁴− 4⋅(−1/√3)²+ 1 = −1/9
f(1/√3) = 2⋅(1/√3)4 − 4⋅(1/√3)2 + 1 = −1/9

Damit sind die Wendepunkte vollständig ermittelt:
WP₁ = (−1/√3 ∣ -1/9) und WP₂ = (1/√3 ∣ -1/9)

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Grenzwertbetrachtung

Zwei Sachverhalte an dieser Stelle, die man wissen soll:

Da die Funktion keine Definitionslücken besitzt, muss nur das Verhalten der Funktion für x → ± ∞ betrachtet werden.
Bei ganzrationalen Funktionen ist lediglich die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.

Betrachtung x gegen $- \infty$ :

$. lim 2 x 4 - 4 x^{2} + 1 = \infty$ x→ $\infty$

Betrachtung x gegen $\infty$ :

$. lim 2 x 4 - 4 x^{2} + 1 = \infty$ x→ $\infty$

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Symmetrieverhalten

Da die Hochzahlen zu x in der Funktionsgleichung alle gerade sind, folgt, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse verläuft.

Rechnerischer Beweis durch das Kriterium

f (- x) = f (x):

f(x) = 2x⁴− 4x²+ 1
f(−x) = 2(−x)⁴−4(−x)²+ 1 = 2x⁴− 4x²+ 1
⇒ f(x) = f(−x)

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Monotonieverhalten

Das Monotonieverhalten tabellarisch dargestellt: