Grundlagen Integralrechnung
Das Integral ist ein Oberbegriff für das bestimmte und unbestimmte Integral. Ein bestimmtes Integral liefert einen Zahlenwert, d.h. hier ist die obere und untere Grenze bestimmt. Das unbestimmte Integral liefert indessen eine Funktion.
Begriffe und Notationen
Sprich: "das Integral über f(x) im Intervall [a,b]
- Das mathematische Zeichen für das Integral ist ∫.Integriert wird über die Variable dx. Die Variable x ist hier austauschbar. Steht am Ende des Integrals dt (wenn z.B. die horizontale Achse mit der Variable t beschriftet ist), so wird über die Variable t integriert.
- a und b sind die Integrationsgrenzen.
Einführung Integraltechnik
Erklärung an einem Einfachst-Beispiel:
Berechnet werden soll die Fläche unter der Kurve f(x) = 0,5 x zwischen den Grenzen x=0 und x=6.
Die Fläche errechnet sich zu:
A = ½ x ∙ y = ½ 6 ∙ 3 = 9
Passen wir dieses Beispiel nun so an, dass es auch für komplexere Beispiele angewandt werden kann:
Um den Wert eines Integrals zu berechnen, bildet man eine Stammfunktion mit den Grenzen a und des betrachteten Intervalls. Der gesuchte Wert ist dann (b)−F(a).
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) stellt einen Zusammenhang zwischen Ableitung und Integration dar:
Ist eine stetige Funktion und ihre Stammfunktion, dann gilt:
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)