Gebrochen rationale Funktionen
Gebrochen rationale Funktionen bestehen aus Brüche, deren Zähler und Nenner jeweils ein Polynom enthält. Die Funktionsgleichung für gebrochen rationale Funktionen lautet wie folgt:
Gebrochen rationale Funktionen können nach dem Zählergrad und dem Nennergrad klassifiziert werden. Der Zählergrad ist die höchste Potenz, die im Zähler vorkommt; der Nennergrad dem entsprechend die höchste Potenz des Nenners. Beispiel:
Diese Funktion besitzt den Zählergrad ZG = 4 und den Nennergrad NG = 6. Daraus kann man erkennen, wie der Funktionsgraph für in etwa aussehen muss. Mehr dazu später.
Echt gebrochen rationale Funktionen und unecht gebrochen rationale Funktionen
Prinzipiell werden gebrochen rationale Funktionen unterteilt in echt gebrochen rationale Funktionen und unecht gebrochen rationale Funktionen:
Ist für eine gebrochen rationale Funktion der Zählergrad größer ist als der Nennergrad, so handelt es sich um eine unecht gebrochen rationale Funktion! Man kann diese Funktion so kürzen, dass der Nenner keine Variable x mehr enthält. Damit ist klar, wieso diese Funktionen als unecht gebrochen bezeichnet werden. Die Techniken, die wir zum Kürzen hier verwenden, sind die binomischen Formeln und die Polynomdivision.
Beispiele für eine echt gebrochen rationale Funktion
f(x) = x – 3 = (x – 3) = 1 .
. x2 – 9 (x + 3) (x – 3) x + 3
Beispiele für eine unecht gebrochen rationale Funktion
f(x) = x2 – 9 = (x + 3) (x – 3) = x + 3
. x – 3 (x – 3)
f(x) = 3x4+x2−2x = 1 x + 1 - 1 .
. 6x3 2 2x 3x2
Das Zählerpolynom hat den Grad 4 und das Nennerpolynom den Grad 3.
Nullstellen gebrochen rationale Funktionen
Um herauszufinden, wo der Funktionsgraph die x-Achse schneidet, betrachten wir lediglich den Zähler der gebrochenrationalen Funktionen:
Definitionsbereich und Polstellen
Da das „Durch-Null-Teilen“ in der Máthematik nicht erlaubt ist, müssen für gebrochenrationale Funktionen die Nullstellen des Nenners aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Wir bestimmen Definitionsbereich wie folgt:
Schritt 1: Berechnen der Nullstellen des Nenners x1, …, xN
Schritt 2: Schließe sie die Nullstellen aus der Menge der reellen Zahlen aus
=> D = ℝ \ { x1, …, xN}
An diesen Nullstellen, welche Definitionslücken darstellen, divergiert die Funktion, d.h. sie verläuft im Limes gegen unendlich, sprich man erhält eine senkrechte Asymptote. Diese Stelle bezeichnet man als Polstelle!
An den Definitionlücken liegt dann ein Pol vor, wenn die Nullstelle des Nenners keine Nullstelle des Zählers ist.
Um zu wissen, ob es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW) handelt, oder eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel setzt man Werte knapp größer beziehungsweise kleiner der Definitionslücke ein und betrachtet das Vorzeichen der Ergebnisse.
Bemerkung: Auch wenn man unecht gebrochenrationale Funktionen kürzen kann, haben diese Definitionslücken bei den Nullstellen des Nenners. Man spricht hier auch von sogenannten hebbaren Definitionslücken!
Und nun einige Beispiele:
Gebrochen Rationale Funktion - Beispiele
Beispiel 1: f(x) = 1/x2 (Bild a)
In unserem Beispiel hat der Nenner der Funktion f(x) eine doppelte Nullstelle bei x = 0. Diese Stelle stellt eine Polstelle dar. Der Definitionsbereich ist D = ℝ \ { 0 }
Da lim 1/x2 = ∞ besitzt die Polstelle kein Vorzeichenwechsel
. x →±0
Beispiel 2: f(x) = x - 2 (Bild b)
. (x2 -4)
Hier hat der Nenner eine Nullstelle bei x1,2 = +- 2. Aber nur x = -2 stellt eine Polstelle dar. Die Stelle x = 2 stellt eine verbotene Stelle dar – hier hat der Graph ein „Loch“. Diese Gleichung lässt sich vereinfachen und man erkennt, dass es sich bei x = 2 um eine „hebbare“ Nullstelle handelt.
f(x) = x - 2 = (x - 2) = 1 .
. (x2 - 4) (x + 2) (x - 2) (x + 2)
Der Definitionsbereich ist D = ℝ \ { -2, 2 }
Grenzwertverhalten und Asymptoten
Das Verhalten x → ∞ wird im wesentlicht bestimmt durch das Verhältnis Zählergrad zu Nennergrad. Dabei können wird folgende 3 Fälle unterscheiden:
Zählergrad < Nennergrad:
In diesem Fall ist die x-Achse immer die waagrechte Asymptote, da gilt
Da lim f(x) = 0
. x → ± 0
Zählergrad = Nennergrad:
Auch hier hat der Funktionsgraph eine waagrechte Asymptote, die jedoch durch die beiden Leitkoeffizienten bestimmt wird:
Zählergrad > Nennergrad
Hier müssen wir zwei Fälle unterscheiden:
Fall 1: Ist der Zählergrad nur um eins größer als der Nennergrad (d.h. ZG=NG+1), dann erhält man eine schräge Asymptote.
Fall 2: Ist der Grad des Zählers um 2 oder größer als der Nennergrad, so erhält man eine kompliziertere Funktion.
In beiden Fällen bestimmen wir die Asymptote durch Polynomdivision.
Beispiel zu Fall 1:
f(x) = x2 + x + 2
. x + 1
Wir führen die Polynomdivision durch und erhalten:
Somit hat die schräge Asymptote die Funktionsgleichung y = x, wie auch im Schaubild zu sehen.
Gebrochen rationale Funktion mit schräger Asymptote
Ebenso können wir die Polynomdivision durchführen für gebrochen rationalen Funktionen, bei denen der Grad des Zählers um 2 oder größer als der Nennergrad. Verständlicherweise erhält man für die Asymptote eine kompliziertere Funktion.