Kurvendiskussion

Kurvendiskussion (Kurvenuntersuchung)

Bei der Kurvendiskussion geht es darum, den Funktionsgraphen auf seine geometrischen Eigenschaften zu untersuchen. Damit gemeint sind meist Schnittpunkte, Wendepunkte oder Extrempunkte, aber auch das Verhalten wie Graphen wie seine Symmetrie, Montonie oder Krümmung.

Einführung Kurvendiskussion

Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellensuche)

Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird auch als Nullstelle bezeichnet. Da die y-Koordinate ist 0 ist, setzen wir unsere gegebene Funktion f(x) = 0.

Schnittpunkte mit der y-Achse (Ordnatenabschnitt)

Für einen Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich null.: S_y​(0 ∣ f(0)). Den y-Ordinatenabschnitt bzw. y-Koordinate erhält man einfach durch Einsetzen von x=0 in die Funktionsgleichung.

Extrempunkte (Hochpunkt & Tiefpunkt)

Als Extrempunkte bezeichnet man die Hoch- und Tiefpunkte eines Funktionsgraphen. Als notwendiges Kriterium, für das Vorhandensein eines Extrempunktes an der Stelle xE​ muss die erste Ableitung gleich Null sein:

f′(x_E) = 0  Bem.: als notwendige Bedingung bezeichnet

Danach können folgende 3 Fälle eintreten, die es zu überprüfen gilt:

1.  f′′(x_E​) < 0  ⇒ Hochpunkt (hinreichende Kriterium)
2.  f′′(x_E​) > 0  ⇒ Tiefunkt (hinreichende Kriterium)
3.  f′′(x_W​) = 0  ⇒ Wendepunkt

Wendepunkte und Krümmung

Unter Krümmung versteht man die Richtungsänderung eines Funktionsgraphen an einem sogenannten Wendepunkt. Generell besitzt eine Kurve eine Linkskrümmung, wenn die Bed. f′′(x) > 0 erfüllt ist. Eine Kurve ist rechtsgekrümmt, wenn gilt f′′(x) < 0. Der Übergang von Links- in Rechtskrümmung und umgekehrt bezeichnet die Wendestelle.

Die notwendige Bedingung für die Wendestelle ist:

f′′(x_W​) = 0

Danach überprüft man die die hinreichende Bedingung mit:

f′′′(x_W​) = 0 und f′′′(x_W) ≠ 0$.$

Monotonieverhalten

Das Monotonieverhalten beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion. Damit erhält man Auskunft, in welchem Abschnitt eine Funktion steigt oder fällt. Wir betrachten zwei Stellen x₁​ und x₂​ (mit x₁<x₂) und unterscheiden 4 Fälle:

• monoton steigend, wenn f(x₁) ≤ f(x₂)
• monoton fallend, wenn f(x₁) ≥ f(x₂)
• streng monoton steigend, wenn f(x₁) < f(x₂)
• streng monoton fallend, wenn f(x₁) > f(x₂)

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