Einführung Vektorlehre
Unterscheidung Ortsvektoren und Richtungsvektoren
Ortsvektor
Ein Ortsvektor beginnt immer im Ursprung, d.h. im zweidimensionalen Raum (0|0), im dreidimensionalen Raum (0|0|0). Damit hat der Ortsvektor eines Punkts dieselben Koordinaten wie dieser Punkt selbst:
Ortsvektoren Beispiel
Richtungsvektor
Der Richtungsvektor beginnt nicht im Ursprung, sondern in einem beliebigen Punkt im Koordinatensystem. Dazu gehören auch die Verbindungsvektoren zwischen zwei Punkten.
Länge oder Betrag eines Vektors
Ein Vektor hat eine bestimmte Länge, den wir auch Betrag nennen können. Die Länge eines Vektors zwischen zei Punkten entspricht gleichzeitig dem Abstand zwischen den zwei Punkten:
Betrag Vektor - Abstand zwischen zwei Punkten
Vektoraddition und Vektorsubtraktion
Ganz einfach: Bei der Vektoraddition addiert man komponentenweise, bei der Vektorsubtraktion subtrahiert man komponentenweise:
Ein Beispiel mit konkreten Zahlenwerten hierzu:
Beispiel Vektoraddition und Subtraktion
Skalarmultiplikation von Vektoren
Skalarmultiplikation bzw. skalare Multiplikation ist die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, wobei ein Skalar eine reelle Zahl ist. Als Ergebnis einer Skalarmultilikation kann man einen Vektor erhalten, welcher:
- gestaucht, d.h. verkürzt ist,, wenn der Skalar kleiner 1 ist,
- gestreckt (verlängert), wenn der Skalar größer als 1 ist,
- die Richtung des Vektors umgekehrt, wenn der Skalar negativ ist. Damit hat man den sogenannten Gegenvektor gebildet.
Skalarprodukt von Vektoren
Das Skalarprodukt ist die Multiplikation zweier Vektoren, indem komponentenweise multipliziert wird:
Anwendung findet das Skalarprodukt in der Überprüfung, ob 2 Vektoren zueinander senkrecht stehen.
Skalarprodukt Vektoren