Umkehrfunktion

Umkehrfunktion

Mit einer Umkehrfunktion werden Rechnungen umgekehrt. Üblicherweise bezeichnen wir die Inverse der Funktion zu $f(x)\; als$.

Beispiel:

$$f\left(x\right)=x{}^{}$$$$f^{-1}\left(x\right)=\sqrt{x}+\mathrm{1)}$$

Da die Umkehrfunktion genau das Gegenteil der Funktion bewirkt, sollten wir den ursprünglichen Wert zurückerhalten, wenn wir die Umkehrfunktion auf die Funktion anwenden:

f⁻¹( f(x) ) = x

Angewandt auf unser Beispiel:

f(2) = 2² - 1 = 3  und  f^-1(3) =

Wie berechnet man die Umkehrfunktion?

Die Vorgehensweise ist einfach:

1. Ersetzen Sie f(x) durch y. Dies ergibt y $$=\; x2\; -\; 1{}^{}$$
2. Vertauschen Sie die Variable x mit der Variable y. Dies ergibt x$$=\; y{}^{}$$
3. Löse die Funktionsgleichung nach y auf. Dies ergibt y =

Voraussetzungen für die Ermittlung der Umkehrfunktion: Der Definitionsbereich einer Funktion entspricht dem Wertebereich der Umkehrfunktion und umgekehrt. Damit das möglich ist, darf jedem y-Wert im Wertebereich nur genau ein x-Wert aus dem Definitionsbereich zugeordnet werden können. Man sagt dann: Die Umkehrfunktion f⁻¹(x) ist wohldefiniert.

Graphen der Umkehrfunktion aufzeichnen

Wir können den Graphen der Umkehrfunktion einer Funktion zeichnen, indem wir den Graphen der Funktion an der Diagonale y = x spiegeln. Angewandt auf unserem Beispiel:

Umkehrfunktion Lehrbeispiel