Bestimmung Funktionsterm Polynomfunktion

Bestimmung Funktionsterm einer Polynomfunktion anhand gegebener Grapheneigenschaften

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades besitzt n+1 Unbekannte. Durch Aufstellen eines Gleichungssystems und Einsetzen der Koordinaten, gegebenfalls Werte wie Steigung, lassen sich die gesuchten Parameter finden.

Einfaches Beispiel:

Ein Tennisball wird von einer Maschine schräg nach oben geworfen. Flughöhe und Entfernung vom Abwurfort sind in der folgenden Tabelle dargestellt. Die Flughöhe lässt sich durch die Funktion h (x) = ax² + bx + c beschrieben.

Ermittlung Funktionsgleichung aus verschiedenen Punkten

Schritt 1: Aufstellen Gleichungssystem

1,5 = a·0² + b·0 + c      (1)   
.  9 = a·3² + b·3 + c      (2)
7,5 = a·6² + b·6 + c      (3)

Schritt 2: Lösen Gleichungssystem

aus (1) folgt:  c =1,5
c = 1,5 in Gl.(2) und (3):.  9 = a·3² + b·3 + 1,5    (4) ⇒ 7,5 = a·3² + b·3
.  9 = a·3² + b·3 + 1,5  ⇒  7,5 = a·9 + b·3     (4) 
7,5 = a·6² + b·6 + 1,5  ⇒     6 = a·36 + b·6   (5)
__________________
2(4) - (5): 9 = -18 a  ⇒ a = - 0,5
a in (4):  7,5 = - 4,5 + 3b  ⇒ b = 4

Ergebnis: h(x) = - 0,5 x² + 4 x + 1,5