Übersicht Themen Kurvendiskussion
Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellensuche)
Der Schnittpunkt oder Berührungspunkt mit der x-Achse wird auch als Nullstelle bezeichnet. Da die y-Koordinate ist 0 ist, berechnen wir die Nullstelle mit der Bedingung: f(x) = 0.
Dabei können wir zwischen einfacher, doppelten oder mehrfachen Nullstelle unterscheiden:
Unterscheidung Nullstellen
Schnittpunkte mit der y-Achse (Ordnatenabschnitt)
Für einen Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich null.:
y-Achsenabschnitt - Kurvendiskussion
Extrempunkte (Hochpunkt & Tiefpunkt)
lokaler und globaler Extrempunkt - Kurvendiskussion
Als Extrempunkte bezeichnet man die Hoch- und Tiefpunkte eines Funktionsgraphen. Der Graph muss an jedem Extrempunkt eine waagrechte Tangente besitzen. .Damit muss die erste Ableitung an der Extremstelle xE gleich Null sein, was als notwendiges Kriterium bezeichent wird.
f′(xE) = 0 notwendige Bedingung
An dieser Stelle kann man noch unterscheiden zwischen lokalem Minimum bzw. Maximum und globalem Minimum bzw. Maximum. Siehe Abbildung.
Ist die notwendige Bedingung für eine Exremstelle erfüllt, können folgende 3 Fälle eintreten, die es zu überprüfen gilt:. Haben wir einen Tiefpunkt, Hochpunkt oder Wendepunkt?
- ⇒ Hochpunkt (hinreichende Kriterium)
- ⇒ Tiefunkt (hinreichende Kriterium)
- ⇒ Wendepunkt
Wendepunkte und Krümmung
Unter Krümmung versteht man die Richtungsänderung eines Funktionsgraphen an einem sogenannten Wendepunkt. Generell besitzt eine Kurve eine Linkskrümmung, wenn die Bed. f′′(x) > 0 erfüllt ist. Eine Kurve ist rechtsgekrümmt, wenn gilt f′′(x) < 0. Der Übergang von Links- in Rechtskrümmung und umgekehrt bezeichnet die Wendestelle.
Die notwendige Bedingung für die Wendestelle ist:
Danach überprüft man die die hinreichende Bedingung mit:
und f′′′(xW) ≠ 0
Wendepunkte und Krümmung
Unter Krümmung versteht man die Richtungsänderung eines Funktionsgraphen an einem sogenannten Wendepunkt. Generell besitzt eine Kurve eine Linkskrümmung, wenn die Bed. f′′(x) > 0 erfüllt ist. Eine Kurve ist rechtsgekrümmt, wenn gilt f′′(x) < 0. Der Übergang von Links- in Rechtskrümmung und umgekehrt bezeichnet die Wendestelle.
Die notwendige Bedingung für die Wendestelle ist:
Danach überprüft man die die hinreichende Bedingung mit:
und f′′′(xW) ≠ 0
Monotonieverhalten
Das Monotonieverhalten beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion. Damit erhält man Auskunft, in welchem Abschnitt eine Funktion steigt oder fällt. Wir betrachten zwei Stellen x1 und x2 (mit x1<x2
- monoton steigend, wenn f(x1) ≤ f(x2)
- monoton fallend, wenn f(x1) ≥ f(x2)
- streng monoton steigend, wenn f(x1) < f(x2)
- streng monoton fallend, wenn f(x1) > f(x2)
Kurvendiskussion Monotonieverhalten
Das Monotonieverhalten lässt sich mit Hilfe der Ableitung in einem Intervall bestimmen.
- monoton steigend, wenn für alle x ∈ I gilt: f′(x) ≥ 0
- monoton fallend, wenn für alle x ∈ I gilt: f′(x) ≤ 0
- streng monoton steigend, wenn für alle x ∈ I gilt: f′(x) > 0
- streng monoton fallend, wenn für alle x ∈ I gilt: f′(x) < 0
Symmetrieverhalten
Bei der Untersuchung der Symmetrie wollen wir vor allem wissen, ob der Graph einer Funktion zu einer Achse oder einem Punkt symmetrisch ist:
- Bei Achsensymmetrie zur y-Achse gilt: f(−x) = f(x)
- Bei Punktsymmetrie zum Ursprung gilt: f(−x) = −f(x)
Kurvendiskussion Symmetrieverhalten
Zur Überprüfung rechnet man beide Seiten der Gleichung aus. Ist das Ergebnis auf beiden Seiten das Gleiche, dann ist das jeweilige Kriterium erfüllt.