Exponentialfunktion Basiswissen
Eine Funktion heißt Exponentialfunktion zur Basis b, wenn sie die Form f(x) = bx aufweist. Die Zahl b wird als Grundzahl und x als Hochzahl bezeichnet. Wichtig ist, dass b > 0 und b ≠ 1 ist.
Eigenschaften der Exponentialfunktionen
- Der Definitionsbereich ist D=R (reelle Zahlen) und der Wertebereich W=[0,∞]
- Eine Exponentialfunktion, deren Graph nicht veschoben ist, hat keine Nullstellen. Vielmehr verläuft der Graph asymptotisch zur die x-Achse.
- Der Graph verläuft durch die Punkte P(0∣1) und P(1∣b)
- Wenn die Grundzahl b > 1 ist, ist die Funktion streng monoton steigend
- Wenn die Grundzahl 0 < b < 1 ist, ist die Funktion streng monoton fallend
Graph Exponentialfunktion
Was ist eine e-Funktion?
Falls die Grundzahl einer Exponentialfunktion die Zahl Euler´sche Zahl e ( = 2,718281828459045235..), spricht man im Allgemeinen von einer e-Funktion.
Graph einer e-Funktion
Nachfolgend abgebildet ist der Graph der Funktion f(x) = ex. Folgende Eigenschaften können wir erkennen:
- Man sieht, dass der Graph der e-Funktion immer oberhalb der x-Achse verläuft.
- Der Graph nähert sich zwar der x-Achse an, wird diese aber nicht schneiden. Damit besitzt die e-Funktion keine Nullstellen.
- Der Graph ist zudem streng monoton steigend und schneidet die y-Achse im Punkt (0 | 1).
Rechnen mit der e-Funktion
Oft verwendet man zur Lösung von e-Funktionen die Umkehrfunktion zur e-Funktion - nämlich den natürlichen Logarithmus ln: ln(ex) = x