Gleichungen lösen
Nachfolgend zeigen wir einige einfache Techniken auf, mit denen Sie Gleichungen lösen können. Dabei handelt es sich um Grundkenntnisse.
Mitternachtsformel
Mit der Mitternachtsformel, auch als ABC-Formel bekannt, lässt sich eine quadratische Gleichung direkt lösen:
Beispiel: 2x2 − 4x + 1 = 0
Substitutionsverfahren
Gegeben sei die folgende Gleichung
2x4 − 4x2 + 1 = 0
Uns fällt auf, dass nur gerade Exponenten auftreten und diese im Wert die Zahl 2 übersteigen. Um diese Gleichung lösen zu können, ersetzen wir durch und erhalten wieder eine quadratische Gleichung, die mit der Mitternachtsformel (auch als PQ-Formel) gelöst werden kann. Nach dem Lösen durch die Mitternachtsformel kann die Rücksubstitution angewandt werden.
2u2 − 4u + 1 = 0
Anwendung der Mitternachtsformel:
u1,2 = -(-4) ± √((-4)2 - 4
. 4
Wir erhalten für u nun zwei Lösungen:
Durch Resubstitution, sprich Rückgängigmachen der Substitution, erhalten wir die Werte für x:
Polynomdivision
x3 − x2 – x + 1 = 0
Die erste Nullstelle muss erraten werden. Wir tippen auf x1 = 1 und machen die Probe:
f(1) = 13 − 12 − 1 + 1 = 0
Für die anschließende Polynomdivision teilt die Ausgangsfunktion durch (x - Nullstelle), also in diesem Fall (x – 1).
Das Ergebnis der Division setzen wir gleich Null und erhalten nach dem Wurzelziehen:
x2 – 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x23 = ± 1