Aufgaben Kurvendiskussion

f(x) = 2x⁴ − 4x² + 1
f′(x) = 8x³ − 8x
f′′(x) = 24x² − 8

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Ermittlung der Extrempunkte:

notw. Bed.: f′(x) = 0
$\iff$f′(x) = 8x³ − 8x = x(8x² - 8) = 0

mögl. Extremwerte:
x₁ = 0
aus 8x² - 8 = 0 ⇒ x² = 1 ⇒  x₂​ = 1 und x₃​ = −1

Mittels der zweiten Ableitung prüfen wir, ob die gefundenen Werte ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte sind:

f′′(0) =  24⋅0² − 8 = −8 ⇒ da f′′(1) < 0 befindet sich an der Stelle x=0 ein Hochpunkt.
Bestimmung des y-Wertes:  f(0) =  2⋅0 − 4⋅0 + 1 = 1
HP(0∣1)

f′′(1) = 24⋅12 − 8 = 16  ⇒ da f′′(1) > 0 befindet sich an der Stelle x=1 ein Tiefpunkt.
Bestimmung des y-Wertes:  f(1) =  2⋅14 − 4⋅12 + 1 = −1
TP(1∣−1)

f′′(-1) = 24⋅12 − 8 = 16  ⇒ da f′′(-1) > 0 befindet sich an der Stelle x=-1 ein Tiefpunkt.
Bestimmung des y-Wertes:  f(-1) =  2⋅14 − 4⋅12 + 1 = −1
TP(-1∣ -1)

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Ermittlung möglicher Wendepunkte:

notw. Bed.: f′′(x) = 0  ⇔  24x² − 8 = 0

Erg.: x_1,2​ = ± ​1​/√3
Überprüfung, ob die gefundenen x-Stellen tatsächlich Wendestellen sind duch die hinreichende Bed. f′′′(x) ≠ 0:

f′′′(±1​/√3) = ± 24 /√3 ≠ 0, damit ist die Bed. erfüllt.

Zur Bestimmung der Wendepunkte gehört auch, dass die y-Werte bekannt sind. Wir ermitteln diese durch Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung:

f(−1​/√3) = 2⋅(−1​/√3​)⁴ − 4⋅(−1​/√3​)² + 1 = −1/9
​f(1​/√3) = 2⋅(1​/√3​)4 − 4⋅(1​/√3​)2 + 1 = −1/9

Damit sind die Wendepunkte vollständig ermittelt:
WP₁ = (−1​/√3 ∣ -1/9) und WP₂ = (1​/√3 ∣ -1/9)

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Grenzwertbetrachtung

Zwei Sachverhalte an dieser Stelle, die man wissen soll:

• Da die Funktion keine Definitionslücken besitzt, muss nur das Verhalten der Funktion für  x → ± ∞ betrachtet werden.
• Bei ganzrationalen Funktionen ist lediglich die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.

Betrachtung x gegen $-\infty$:

.lim 2x⁴ − 4x² + 1 = ∞
x→$\infty$

Betrachtung x gegen $\infty$:

.lim 2x⁴ − 4x² + 1 = ∞
x→$\infty$

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